Qual a diferença entre "other", "others" e "another" ?

O primeiro caso é a palavra "other", cujo significado é "outro", "outra", "outros", "outras". Na maioria das vezes, essa palavra estará acompanhada com a palavra "the". Veja alguns exemplos:

• That boy over there is Mike; the other is Carl. (Aquele garoto lá é o Mike; o outro é o Carl.)
• The other car cost much less. (O outro carro custava muito menos.)
• He raised one arm and then the other. (Ele levantou um braço e depois o outro.)
• The other people are doing the same thing. (As outras pessoas estão fazendo a mesma coisa.)
• Add the flour and the other ingredients. (Adicione a farinha e os outros ingredientes.)

Mas nem sempre será assim. Ou seja, "other" poderá ainda estar sozinho na sentença ou acompanhado de palavras como "some", "any", "my", "your", "his", etc., ou ainda um número:

• I'll wear my other shoes - these are dirty. (Vou usar o meu outro sapato - esse está sujo.)
• None of your other friends agreed. (Nenhum dos seus outros amigos concordou.)
• Mrs. Silva has three other children. (A senhora Silva tem outros três filhos.)
• Unfortunately, no other details were given. (Infelizmente, nenhum outro detalhe foi dado.)
• I suggested going to the movies, but they had other plans. (Sugeri irmos ao cinema, mas elas tinham outros planos.)
• Do you have any other questions? (Vocês têm outras dúvidas?)

A palavra "others" ("outros" ou "outras") é usada para evitar a repetição de palavras em uma sentença (conversa). O uso da palavra "the" na frente é opcional:

• Some girls like reading books. Others prefer magazines. (Algumas garotas gostam de ler livros. Outras preferem revistas.)
• One boy fell off his chair and the others laughed. (Um garoto caiu da cadeira e os outros riram.)
• These books are mine. The others are yours. (Esses livros são meus. Os outros são seus.)

Aqui vale dizer que podemos usar a expressão "the others" com o mesmo sentido de "the other people" (as outras pessoas) ou "the other things" (as outras coisas):

• If you tell Caroline, I'll tell the others. (Se você contar para a Caroline, eu conto pras outras.)
• Márcia and Paula are coming, but the other aren't. (Márcia e Paula estão vindo, mas os outros não.)

Por fim temos a palavra "another", que significa "um outro" ou "uma outra". Se você observar nada mais é do que "an other" escrito junto. Aliás, as duas são escritas juntas - another - desde o século 16; portanto, faz muito tempo. Usamos "another" quando fazemos referência a algo que já foi mencionado na sentença (conversa):

• My iPad is broken. I need to buy another. (Meu iPad está quebrado. Eu preciso comprar -um- outro.)
• Would you like another drink? (Você quer -um- outro drinque?)
• I'll cancel that check and send you another. (Vou cancelar esse cheque e te enviar -um- outro.)

Você só perceberá a diferença entre palavras assim quando deixar de prestar atenção apenas a elas e começar a observar como elas são usadas em uma sentença ou junto com outras palavras.

Ou seja, ao invés de focar toda a atenção apenas em "other", "others" e "another", comece a prestar atenção no conjunto, nas palavras usadas antes de cada uma, aprenda uma sentença completa se for o caso... Enfim, só assim você se acostumará com o uso de cada uma ao longo do seu aprendizado de inglês.